Як вирішувати нерівності? Як вирішувати дробові та квадратні нерівності?

Дата:

2018-08-16 20:10:13

Перегляди:

598

Рейтинг:

1Дизлайк 0Любити

Поділитися:

Table of contents:

Поняття математичного нерівності виникло в глибокій старовині. Це сталося тоді, коли у первісної людини з'явилася потреба при рахунку та дії з різними предметами порівнювати їх кількість і величину. Починаючи з античних часів нерівностей користувалися в своїх міркуваннях Архімед, Евклід та інші прославлені діячі науки: математики, астрономи, конструктори і філософи.

Але вони, як правило, застосовували у своїх роботах словесну термінологію. Вперше сучасні знаки для позначення понять «більше» і «менше» у тому вигляді, в якому їх сьогодні знає кожен школяр, придумали і застосували на практиці в Англії. Надав таку послугу нащадкам математик Томас Гарріот. А сталося це близько чотирьох століть тому.

як розв'язувати нерівності

Відомо безліч видів нерівностей. Серед них прості, що містять один, дві і більше змінних, квадратні, дробові, складні співвідношення і навіть представлені системою виразів. А зрозуміти, як вирішувати нерівності, краще за все на різних прикладах.

Не спізнитися на поїзд

Для початку уявімо собі, що мешканець сільської місцевості поспішає на залізничну станцію, яка знаходиться на відстані 20 км від його села. Щоб не спізнитися на поїзд, який відходить в 11 годин, він повинен вчасно вийти з дому. О котрій годині це необхідно зробити, якщо швидкість його руху становить 5 км/год? Вирішення цієї практичної задачі зводиться до виконання умов виразу: 5 (11 – Х) ≥ 20, де Х – час відправлення.

Це зрозуміло, адже відстань, яку необхідно подолати селянина до станції одно швидкості руху, помноженої на кількість годин в дорозі. Прийти раніше людина може, але ось запізнитися йому ніяк не можна. Знаючи, як вирішувати нерівності, і застосувавши свої вміння на практиці, в результаті отримаємо Х ≤ 7, що і є відповіддю. Це означає, що селянину потрібно відправитися на залізничну станцію в сім ранку або дещо раніше.

Числові проміжки на координатній прямій

Тепер з'ясуємо, як відобразити описувані співвідношення на координатній прямій. Отримане вище нерівність не є строгим. Воно означає, що змінна може приймати значення менше 7, а може бути рівним цього числа. Наведемо інші приклади. Для цього уважно розглянемо чотири малюнка, представлених нижче.

Більше:

Перший штучний супутник Землі

Перший штучний супутник Землі

Перший штучний супутник Землі є одним з найбільших досягнень науки ХХ століття. Тим не менш, як це ні парадоксально, цьому великому науковому і технічному досягненню значною мірою сприяла холодна війна між двома наддержавами: США і Радянським Союзом....

Що таке соціалізація, і як вона змінює людину

Що таке соціалізація, і як вона змінює людину

Спробуємо розібратися, що таке соціалізація, в чому її сутність і особливість. Адже для кожної особистості входження у суспільство і засвоєння його основних норм є фундаментом до подальшої безпроблемною і успішного життя і діяльності. Отже, що таке с...

Принц Чарльз – головний спадкоємець британського престолу

Принц Чарльз – головний спадкоємець британського престолу

Згідно із законом королівства Великобританія, спадкоємець британського престолу - це старший закононароджена син чинного монарха або ж попереднього претендента на престол. Однак якщо у царюючого особи немає дитини чоловічої статі, то право спадкуванн...

як вирішувати дробові нерівності

На першому з них можна побачити графічне зображення проміжку [-7; 7]. Він складається з безлічі чисел, розміщених на координатної прямий і знаходяться між -7 і 7, включаючи кордону. При цьому точки на графіку зображуються у вигляді зафарбованих кіл, а запис проміжку проводиться з використанням квадратних дужок.

Другий малюнок є графічним поданням суворого нерівності. В даному випадку прикордонні числа -7 і 7, показані виколотими (не зафарбованими) точками, що не включаються в зазначене безліч. А запис самого проміжку проводиться в круглих дужках наступним чином: (-7; 7).

тобто, з'ясувавши, як вирішувати нерівності такого типу, і отримавши таку відповідь, можна зробити висновок, що він складається з чисел, що знаходяться між цими кордонами, крім -7 і 7. Наступні два випадку необхідно оцінювати аналогічним чином. На третьому малюнку подано зображення проміжків (-∞; -7] U [7; +∞), а на четвертому - (-∞; -7) U (7; +∞).

Два вирази в одному

Часто можна зустріти наступний запис: 7 < 2Х – 3 < 12. Як вирішувати подвійні нерівності? Це означає, що на вираз накладаються відразу дві умови. І кожне з них слід враховувати, щоб отримати правильну відповідь для змінної Х. Прийнявши до уваги таке положення справ, отримуємо з співвідношень 2Х – 3 > 7 і 2Х – 3 < 11 наступне:

5 < Х < 7. Остаточну відповідь записується таким чином: (5; 7). Це означає, що змінна приймає безліч значень, укладених в проміжку між числами 5 і 7, виключаючи кордону.

Схожі властивості з рівнянням

Рівняння являє собою вираз, об'єднуване знаком = , який означає, що обидві його частини (ліва і права) тотожні за величиною. Тому часто подібні співвідношення пов'язують з образом старовинних ваг, що мають чаші, встановлені і скріплюються за допомогою важеля. Цей пристрій завжди перебуває в рівновазі, якщо обидві сторони наділені однаковою вагою. При цьому положення не змінюється, якщо ліва і права частини доповнюються або втрачають вантажі однакової маси.

квадратні нерівності рішення

В математичному рівнянні до обох частин рівності, щоб воно не переривалось, теж можна додавати одне і те ж число. При цьому воно може бути позитивним або негативним. Як вирішувати нерівності в даному випадку, і можна зробити з ними те ж саме? Попередні приклади показали, що так.

Відміну від рівняння

Обидві частини виразу, сполучені знаками < >, можна множити і ділити на будь-яке додатне число. При цьому істинність співвідношення не порушується. Але як розв'язати нерівність з дробами негативними і цілими множниками, перед якими стоїть знак мінус? Тут справа йде зовсім інакше.

Розберемо це на прикладі: -3Х < 12. Щоб виділити змінну в лівій частині, доводиться ділити кожну з них на -3. При цьому знак нерівності змінюється на зворотний. Отримуємо: Х > -4, що і є відповіддюпоставленого завдання.

Метод інтервалів

Нерівність називається квадратним у разі, якщо містить змінну, зведену в другу ступінь. Прикладом такого співвідношення може служити наступне вираз: Х2 – 2Х + 3 > 0. Як розв'язувати квадратні нерівності? Найзручнішим способом є метод інтервалів. Для здійснення задуманого, слід розкласти на множники ліву частину співвідношення. Виходить: (Х – 3)(Х + 1). Потім рекомендується знайти нулі функції і розташувати отримані точки в правильному порядку на координатній прямій.

квадратні нерівності

Далі потрібно розподілити знаки отриманих інтервалів, підставивши у вираз будь-яке з чисел, що належать даному проміжку. При цьому в простих випадках зазвичай достатньо розібратися хоча б з одним з них, а решта - розставити за правилом чергування. У висновку залишається тільки відібрати відповідні інтервали, щоб отримати остаточне рішення.

Квадратні нерівності тут підкоряються закону відповідності негативних областей мінусів, а позитивних - плюсів. Тобто, якщо вираз більше нуля, то слід брати числові проміжки, позначені знаком + . А в зворотному випадку рішенням будуть ділянки, відмічені знаком - . Таким чином, рішення нашого нерівності запишеться так: (-∞; -1) U (3; +∞).

Інші приклади застосування методу інтервалів

Описаний спосіб дає відповідь і на інше важливе питання: як вирішувати дробові нерівності, якщо в даному випадку цілком можна застосувати той же метод інтервалів? Розглянемо докладніше, як це можна зробити на прикладі співвідношення, представленого нижче.

як розв'язувати квадратні нерівності

Тут нулями функції є точки -9 і 4. Для знаходження рішення слід нанести їх на координатну пряму і визначити знаки проміжків, відібравши ті з них, які виявляться позначеними знаком плюс. При цьому слід звернути увагу, що зафарбованої буде тільки цифра 4.

Інша точка буде выколотой, так як -9 не входить в область значень, які допустимі. Адже при цьому в знаменнику виходить нуль, що в математиці неможливо. Як вирішувати дробові нерівності? В даному випадку остаточною відповіддю стане об'єднання проміжків: (-∞; -9) U [4; +∞).

Параболи на графіку

З'ясувати все про нерівностях часто допомагають не тільки малюнки на координатній прямій, але і зображення в декартовій площині. Графіком квадратичної залежності, як відомо, є парабола. Навіть схематичний малюнок такого типу здатний практично повністю дати відповіді на поставлені запитання. Розглянемо деякі з типів парабол, що дають подання про рішення квадратних нерівностей.

Тут насамперед з'ясуємо для себе деякі істини. Будь-який вираз такого типу приводиться до вигляду: ах2 + вх + с = 0. При цьому, якщо коефіцієнт а виявляється позитивним, то параболу слід малювати гілками верх, в протилежному випадку – вниз. А корені рівняння є точками, де відбувається перетин графіка функції з віссю ОХ.

як вирішувати подвійні нерівності

Тлумачення

Знати зазначені вище твердження дуже важливі для розуміння квадратних нерівностей і відповідей на питання, пов'язані з ними. Накресливши схему параболи на декартовій площині, для рішення необхідно з'ясувати, в який момент функція (тобто значення координат точок по осі ОУ) приймає показники + і -. При цьому, якщо в нерівності стоїть знак >, то рішенням його буде безліч значень, прийнятих змінної Х при позитивному У.

У разі знаку < у відповіді вказуються показники для Х при негативному У. Буває так, що парабола і зовсім не перетинається з віссю ОХ. Це відбувається у випадках, коли Д < 0. Тоді, якщо графік розташований у верхньої півплощини, відповіддю для квадратного нерівності зі знаком > виявиться проміжок (-∞; +∞). А для < рішенням буде порожня множина. З нижньої полуплоскостью справа йде з точністю до навпаки.

Про користь графічних зображень

Зображення на декартовій площині істотно полегшують задачу для систем рівнянь. Малюнки наочно показують рішення, які є точками перетину нанесених ліній. Залишається тільки обчислити їх координати і записати відповідь.

як вирішити нерівності з дробами

Те ж стосується і нерівностей. Приміром, рішенням співвідношення у ≤ 6 – х (як зрозуміло з малюнку) є сама пряма у = 6 - х, а також полуплоскость, розміщена нижче цієї межі. Для точної відповіді можна взяти будь-яку точку на графіку (наприклад (1; 3) і підставити її координати в нерівність. Отримуємо: 3 ≤ 6 - 1, тобто вірне співвідношення. Отже, наведені міркування були істинними.

Нерівність у ≥ х2 описується областю на декартовій площині, розташованої в чаші параболи, включаючи межі її самої. А на перетині зазначених секторів можна знайти рішення співвідношення, записаного у вигляді: х2 ≤ у ≤ 6 – х. Воно буде обмежуватися знизу лінією параболи і отсекаться зверху прямою. Для впевненості знову зробимо перевірку, підставивши значення координат будь-якої точки, пренадлежащей до цієї галузі.

Візьмемо (1; 4). Отримуємо: 1 ≤ 4 ≤ 6 - 1, тобто знову вірне співвідношення. Тут знову є сенс зауважити, що нерівності володіють багатьма подібними рисами з рівняннями, хоча й наділені істотнимивідзнаками.


Article in other languages:

AR: https://www.tostpost.com/ar/education/4037-how-to-solve-inequality-how-to-solve-fractional-and-quadratic-inequali.html

BE: https://www.tostpost.com/be/adukacyya/7149-yak-vyrashac-nyaro-nasc-yak-vyrashac-drobavyya-kvadratnyya-nyaro-nasc.html

DE: https://www.tostpost.com/de/bildung/7150-wie-man-ungleichungen-wie-man-fraktionierte-und-quadratische-ungleichu.html

En: https://www.tostpost.com/education/21595-how-to-solve-inequality-how-to-solve-fractional-and-quadratic-inequali.html

ES: https://www.tostpost.com/es/la-educaci-n/7156-c-mo-resolver-la-desigualdad-c-mo-resolver-los-fraccional-y-de-la-plaz.html

HI: https://www.tostpost.com/hi/education/4040-how-to-solve-inequality-how-to-solve-fractional-and-quadratic-inequali.html

JA: https://www.tostpost.com/ja/education/4038-how-to-solve-inequality-how-to-solve-fractional-and-quadratic-inequali.html

KK: https://www.tostpost.com/kk/b-l-m/7152-alay-te-s-zd-kt-sheshu-alay-sheshu-b-lshek-zh-ne-kvadrat-te-s-zd-k.html

PL: https://www.tostpost.com/pl/edukacja/7153-jak-rozwi-zywa-nier-wno-ci-jak-rozwi-zywa-cz-stkowe-i-nier-wno-ci-kwad.html

PT: https://www.tostpost.com/pt/educa-o/7149-como-lidar-com-a-desigualdade-como-lidar-com-frac-es-e-os-desigualdade.html

TR: https://www.tostpost.com/tr/e-itim/7156-zmek-i-in-nas-l-bir-e-itsizlik-var-zmek-gibi-kesirli-ve-kare-e-itsizli.html

ZH: https://www.tostpost.com/zh/education/4373-how-to-solve-inequality-how-to-solve-fractional-and-quadratic-inequali.html






Alin Trodden - автор статті, редактор
"Привіт, Я Алін Тродден. Я пишу тексти, читаю книги і шукаю враження. І я непогано вмію розповідати вам про це. Я завжди радий брати участь у цікавих проектах."

Примітка (0)

Ця стаття не має коментарів, будьте першим!

Додати коментар

Новини

Які предмети потрібно здавати на юриста. Поради абітурієнтам.

Які предмети потрібно здавати на юриста. Поради абітурієнтам.

Престиж професії юриста в нашій країні завжди був надзвичайно високий. Людина, яка знає закони, вміє відстоювати права і свої, і інших, які потребують в цьому людей, звичайно ж, викликав і викликає повагу. Поняття демократичної де...

Російсько-турецька війна 1768-74 рр ..

Російсько-турецька війна 1768-74 рр ..

Російсько-турецька війна 1768-74 років стала п'ятим за рахунком військовим конфліктом між Росією і Османською імперією. Основне протиріччя залишалося колишнім – володіння вільним виходом до Чорного моря. А формальні причини ...

Процес, поняття та етапи інституціоналізації. Інституціоналізація в Росії. Інституціоналізація - це...

Процес, поняття та етапи інституціоналізації. Інституціоналізація в Росії. Інституціоналізація - це...

Суспільне життя – поняття багатогранне. Однак прогрес Російського суспільства, як ми бачимо з історії, безпосередньо залежить від якості проведеного специфічного творчого інтелектуального процесу. Що ж таке інституціоналізац...

Ганна Іванівна: роки правління, історія і заслуги перед Росією

Ганна Іванівна: роки правління, історія і заслуги перед Росією

Для російської зброї 1709 рік був сповнений славних перемог. Під Полтавою Петро Великий розгромив армію шведського короля Карла Дванадцятого - російські війська успішно вибили їх з території Прибалтики. Щоб зміцнити свій вплив на ...

Палеонтологія: що таке вона вивчає?

Палеонтологія: що таке вона вивчає?

У даній статті ми поговоримо про таку науку як палеонтологія - що таке вона вивчає, навіщо потрібна і яка від неї користь сучасного світу.Стародавні часиНайчастіше, при згадці перших форм життя на Землі, людям на розум приходять д...

Комсомолець - це... Значення слова

Комсомолець - це... Значення слова "комсомолець"

Значення слова «комсомолець» незрозуміло для сучасного покоління. Люди, які застали радянські часи, дуже добре пам'ятають, що воно означає. Комсомолець – це юний комуніст, майбутній керівник партійних осередків. ...