Як вырашаць няроўнасці? Як вырашаць дробавыя і квадратныя няроўнасці?

Дата:

2018-08-16 15:50:15

Прагляды:

547

Рэйтынг:

1Любіць 0Непрыязнасць

Доля:

Table of contents:

Паняцце матэматычнага няроўнасці ўзнікла ў глыбокай старажытнасці. Гэта адбылося тады, калі ў першабытнага чалавека з'явілася патрэба пры рахунку і дзеяннях з рознымі прадметамі параўноўваць іх колькасць і велічыню. Пачынаючы з антычных часоў неравенствами карысталіся ў сваіх развагах Архімед, Еўклід і іншыя славутыя дзеячы навукі: матэматыкі, астраномы, канструктары і філосафы.

Але яны, як правіла, ужывалі ў сваіх працах слоўную тэрміналогію. Упершыню сучасныя знакі для абазначэння паняццяў «больш за» і «менш» у тым выглядзе, у якім іх сёння ведае кожны школьнік, прыдумалі і ўжылі на практыцы ў Англіі. Аказаў такую паслугу нашчадкам матэматык Томас Гарриот. А здарылася гэта каля чатырох стагоддзяў таму.

як вырашаць няроўнасці

Вядома мноства відаў няроўнасцей. Сярод іх простыя, якія змяшчаюць адну, дзве і больш зменных, квадратныя, дробавыя, складаныя суадносін і нават прадстаўленыя сістэмай выразаў. А зразумець, як вырашаць няроўнасці, лепш за ўсё на розных прыкладах.

Не спазніцца на цягнік

Для пачатку уявім сабе, што жыхар сельскай мясцовасці спяшаецца на чыгуначную станцыю, якая знаходзіцца на адлегласці 20 км ад яго вёскі. Каб не спазніцца на цягнік, які адыходзіць у 11 гадзін, ён павінен своечасова выйсці з дома. А якой гадзіне гэта неабходна зрабіць, калі хуткасць яго руху складае 5 км/ч? Рашэнне гэтай практычнай задачы зводзіцца да выканання ўмоў выказвання: 5 (11 – Х) ≥ 20, дзе Х – час адпраўлення.

Гэта зразумела, бо адлегласць, якое неабходна пераадолець селяніна да станцыі роўна хуткасці руху, памножанай на колькасць гадзін у шляху. Прыйсці раней чалавек можа, але вось спазніцца яму ніяк нельга. Ведаючы, як вырашаць няроўнасці, і ужыўшы свае ўменні на практыцы, у выніку атрымаем Х ≤ 7, што і з'яўляецца адказам. Гэта значыць, што селяніна варта адправіцца на чыгуначную станцыю ў сем раніцы або некалькі раней.

Лікавыя прамежкі на каардынатнай прамой

Зараз высветлім, як адлюстраваць апісваныя суадносін на каардынатнай прамой. Атрыманае вышэй няроўнасць не з'яўляецца строгім. Яно азначае, што пераменная можа прымаць значэння менш за 7, а можа быць роўным гэтаму ліку. Прывядзём іншыя прыклады. Для гэтага ўважліва разгледзім чатыры малюнка, прадстаўленых ніжэй.

Больш:

Нервовы імпульс, яго пераўтварэнне і механізм перадачы

Нервовы імпульс, яго пераўтварэнне і механізм перадачы

Нервовая сістэма чалавека выступае своеасаблівым каардынатарам у нашым арганізме. Яна перадае каманды ад мозгу мускулатуры, органаў, тканін і апрацоўвае сігналы, якія ідуць ад іх. У якасці своеасаблівага носьбіта дадзеных выкарыстоўваецца нервовы імп...

Куды паступаць пасля 11 класа? Якую выбраць прафесію?

Куды паступаць пасля 11 класа? Якую выбраць прафесію?

Пры выбары сваёй будучай прафесіі не варта абапірацца на чые-то рэкамендацыі і парады, тым больш не трэба падпарадкоўвацца сваім бацькам, якія даволі часта вырашаюць без вас самастойна, куды паступіць пасля 11 класа. Варта задумацца, наколькі паспяхо...

Крывяносная сістэма жывёл, як вынік эвалюцыйнага развіцця свету

Крывяносная сістэма жывёл, як вынік эвалюцыйнага развіцця свету

Крывяносная сістэма жывёл прайшла доўгі шлях фарміравання ў ходзе эвалюцыйнага развіцця свету. Яна ўтварылася на месцы рудыментарных частак першаснай паражніны цела, якая ў вышэйшых жывёл была выцесненая целломом, або другаснай паражніной цела. У пра...

як вырашаць дробавыя няроўнасці

На першым з іх можна ўбачыць графічнае малюнак прамежку [-7; 7]. Ён складаецца з мноства лікаў, размешчаных на каардынатнай прамой і якія знаходзяцца паміж -7 і 7, уключаючы мяжы. Пры гэтым кропкі на графіцы адлюстроўваюцца ў выглядзе слоўнікаў колаў, а запіс прамежку вырабляецца з выкарыстаннем квадратных дужак.

Другі малюнак з'яўляецца графічным прадстаўленнем строгага няроўнасці. У дадзеным выпадку памежныя колькасці -7 і 7, паказаныя выкалатымі (не зачарнёнымі) кропкамі, не ўключаюцца ў паказанае мноства. А запіс самага прамежку вырабляецца ў круглых дужках наступным чынам: (-7; 7).

Тое ёсць, высветліўшы, як вырашаць няроўнасці такога тыпу, і атрымаўшы такі адказ, можна заключыць, што ён складаецца з лікаў, якія знаходзяцца паміж разгляданымі межамі, акрамя -7 і 7. Наступныя два выпадкі неабходна ацэньваць аналагічным чынам. На трэцім малюнку даюцца выявы прамежкаў (-∞; -7] U [7; +∞), а на чацвёртым - (-∞; -7) U (7; +∞).

Два выразы ў адным

Часта можна сустрэць наступную запіс: 7 < 2 – 3 < 12. Як вырашаць двайныя няроўнасці? Гэта значыць, што на выраз накладаюцца адразу два ўмовы. І кожнае з іх варта ўлічваць, каб атрымаць правільны адказ для зменнай Х. Прыняўшы пад увагу такое становішча спраў, атрымліваем з суадносін 2Х – 3 > 7 і 2 – 3 < 11 наступнае:

5 < Х < 7. Канчатковы адказ запісваецца такім чынам: (5; 7). Гэта значыць, што пераменная прымае мноства значэнняў, заключаных у прамежку паміж лікамі 5 і 7, выключаючы мяжы.

Падобныя ўласцівасці з раўнаннем

Раўнанне ўяўляе сабой выраз, объединяемое знакам = , які азначае, што абедзве часткі яго (левая і правая) тоесныя па велічыні. Таму часта падобныя суадносін звязваюць з вобразам старадаўніх вагаў, якія маюць чары, устаноўленыя і скрепляемые з дапамогай рычага. Дадзенае прылада заўсёды знаходзіцца ў раўнавазе, калі абодва канца надзелены аднолькавым вагой. Пры гэтым становішча не змяняецца, калі левая і правая часткі дапаўняюцца або губляюць грузы аднолькавай масы.

квадратныя няроўнасці рашэнне

У матэматычным раўнанні да абедзвюх частках роўнасці, каб яно не парушылася, таксама можна дадаваць адно і тое ж лік. Пры гэтым яно можа быць станоўчым або адмоўным. Як вырашаць няроўнасці ў дадзеным выпадку, і можна зрабіць з імі тое ж самае? Папярэднія прыклады паказалі, што так.

Адрозненне ад ўраўненні

Абедзве часткі выказвання, злучаныя знакамі < >, можна памнажаць і дзяліць на любое станоўчае лік. Пры гэтым праўдзівасць суадносін не парушаецца. Але як вырашыць няроўнасць з дробамі адмоўнымі і цэлымі множнік, перад якімі стаіць знак мінус? Тут справа ідзе зусім інакш.

Разбярэм гэта на прыкладзе: -3Х < 12. Каб вылучыць зменную ў левай частцы, даводзіцца дзяліць кожную з іх на -3. Пры гэтым знак няроўнасці змяняецца на зваротны. Атрымліваем: X > -4, што і з'яўляецца адказампастаўленай задачы.

Метад інтэрвалаў

Няроўнасць называецца квадратным у выпадку, калі змяшчае зменную, узведзеную ў другую ступень. Прыкладам падобнага суадносін можа служыць наступнае выраз: Х2 – 2Х + 3 > 0. Як вырашаць квадратныя няроўнасці? Самым зручным спосабам з'яўляецца метад інтэрвалаў. Для ажыццяўлення задуманага, варта раскласці на множнікі левую частку суадносін. Атрымліваецца: (Х – 3)(Х + 1). Потым рэкамендуецца знайсці нулі функцыі і размясціць атрыманыя кропкі ў правільным парадку на каардынатнай прамой.

квадратныя няроўнасці

Далей трэба размеркаваць знакі атрыманых інтэрвалаў, падставіўшы выраз у любы з лікаў, якія належаць дадзеным прамежку. Пры гэтым у простых выпадках звычайна досыць разабрацца хоць бы з адным з іх, а астатнія - расставіць па правілу чаргавання. У зняволенні застаецца толькі адабраць прыдатныя інтэрвалы, каб атрымаць канчатковае рашэнне.

Квадратныя няроўнасці тут падпарадкоўваюцца закону адпаведнасці адмоўных абласцей мінусаў, а станоўчых - плюсаў. Гэта значыць, калі выраз больш за нуль, то варта браць лікавыя прамежкі, пазначаныя знакам + . А ў адваротным выпадку рашэннем будуць ўчасткі, адзначаныя знакам - . Такім чынам, рашэнне нашага няроўнасці запішацца так: (-∞; -1) U (3; +∞).

Іншыя прыклады прымянення метаду інтэрвалаў

Апісаны спосаб дае адказ і на іншы немалаважны пытанне: як вырашаць дробавыя няроўнасці, калі ў дадзеным выпадку цалкам выкарыстоўваецца і ў дачыненні той жа метад інтэрвалаў? Разгледзім больш падрабязна, як гэта можна зрабіць, на прыкладзе суадносін, прадстаўленага ніжэй.

як вырашаць квадратныя няроўнасці

Тут нулямі функцыі з'яўляюцца пункты -9 і 4. Для знаходжання рашэння варта нанесці іх на каардынатную прамую і вызначыць знакі прамежкаў, адабраўшы тыя з іх, якія апынуцца пазначанымі знакам плюс. Пры гэтым варта звярнуць увагу, што зафарбаваным будзе толькі лічба 4.

Іншая кропка буде выколотой, так як -9 не ўваходзіць у вобласць значэнняў, якія дапушчальныя. Бо пры гэтым у назоўніку атрымліваецца нуль, што ў матэматыцы немагчыма. Як вырашаць дробавыя няроўнасці? У дадзеным выпадку канчатковым адказам стане аб'яднанне прамежкаў: (-∞; -9) U [4; +∞).

Парабалы на графіку

Высветліць усе аб неравенствах часта дапамагаюць не толькі малюнкі на каардынатнай прамой, але і выявы ў декартовой плоскасці. Графікам квадратычнай залежнасці, як вядома, з'яўляецца парабалу. Нават схематычны малюнак такога тыпу здольны практычна цалкам даць адказы на пастаўленыя пытанні. Разгледзім некаторыя з тыпаў парабалы, якія даюць ўяўленні пра рашэнне квадратных няроўнасцей.

Тут перш за ўсё ўразумеў для сябе некаторыя ісціны. Любы выраз такога тыпу прыводзіцца да выгляду: ах2 + увах + з = 0. Пры гэтым, калі каэфіцыент а аказваецца станоўчым, то парабалу варта маляваць галінамі верх, у процілегла выпадку – ўніз. А карані ўраўненні з'яўляюцца кропкамі, дзе адбываецца скрыжаванне графіка функцыі з воссю ОХ.

як вырашаць двайныя няроўнасці

Тлумачэння

Ведаць названыя вышэй зацвярджэння вельмі важныя для разумення квадратных няроўнасцей і адказаў на пытанні, звязаныя з імі. Накрэсліў схему парабалы на декартовой плоскасці, для вырашэння неабходна высветліць, у які момант функцыя (гэта значыць, значэнні каардынат кропак па восі ОУ) прымае паказчыкі + і -. Пры гэтым, калі ў няроўнасці стаіць знак >, то рашэннем яго будзе мноства значэнняў, якія прымаюцца зменнай Х пры станоўчым. У.

У выпадку знака < у адказе паказваюцца паказчыкі для Х пры адмоўным У. Бывае так, што парабалу і зусім не перасякаецца з воссю ОХ. Гэта адбываецца ў выпадках, калі В < 0. Тады, калі графік размешчаны ў верхняй полуплоскости, адказам для квадратнага няроўнасці са знакам > апынецца прамежак (-∞; +∞). А для < рашэннем будзе пустое мноства. З ніжняй полуплоскостью справа ідзе з дакладнасцю ды наадварот.

Аб карысці графічных малюнкаў

Малюнкі на декартовой плоскасці істотна палягчаюць задачу для сістэм раўнанняў. Малюнкі наглядна паказваюць рашэнні, якія з'яўляюцца кропкамі перасячэння нанесеных ліній. Застаецца толькі вылічыць іх каардынаты і запісаць адказ.

як вырашыць няроўнасці з дробамі

Тое ж тычыцца і няроўнасцей. Да прыкладу, рашэннем суадносін у ≤ 6 – х (як зразумела па малюнку) з'яўляецца сама прамая у = 6 - х, а таксама зварот, размешчаная ніжэй гэтай мяжы. Для дакладнага адказу можна ўзяць любую кропку на графіцы (напрыклад, (1; 3) і падставіць яе каардынаты ў няроўнасць. Атрымліваем: 3 ≤ 6 - 1, то ёсць правільнае суадносіны. Значыць, прыведзеныя развагі былі праўдзівымі.

Няроўнасць у ≥ х2 апісваецца вобласцю на декартовой плоскасці, размешчанай у чары парабалы, уключаючы межы яе самой. А на скрыжаванні названых сектараў можна знайсці рашэнне суадносін, запісанага ў выглядзе: х2 ≤ у ≤ 6 – х. Яно будзе абмяжоўвацца знізу лініяй парабалы і па зямлі зверху прамой. Для ўпэўненасці зноў зробім праверку, падставіўшы значэння каардынатаў любой кропкі, пренадлежащей да гэтай галіне.

Возьмем (1; 4). Атрымліваем: 1 ≤ 4 ≤ 6 - 1, то ёсць зноў правільнае суадносіны. Тут зноў ёсць сэнс заўважыць, што няроўнасці валодаюць многімі падобнымі рысамі з раўнаннямі, хоць і надзелены істотныміадрозненнямі.


Article in other languages:

AR: https://www.tostpost.com/ar/education/4037-how-to-solve-inequality-how-to-solve-fractional-and-quadratic-inequali.html

DE: https://www.tostpost.com/de/bildung/7150-wie-man-ungleichungen-wie-man-fraktionierte-und-quadratische-ungleichu.html

En: https://www.tostpost.com/education/21595-how-to-solve-inequality-how-to-solve-fractional-and-quadratic-inequali.html

ES: https://www.tostpost.com/es/la-educaci-n/7156-c-mo-resolver-la-desigualdad-c-mo-resolver-los-fraccional-y-de-la-plaz.html

HI: https://www.tostpost.com/hi/education/4040-how-to-solve-inequality-how-to-solve-fractional-and-quadratic-inequali.html

JA: https://www.tostpost.com/ja/education/4038-how-to-solve-inequality-how-to-solve-fractional-and-quadratic-inequali.html

KK: https://www.tostpost.com/kk/b-l-m/7152-alay-te-s-zd-kt-sheshu-alay-sheshu-b-lshek-zh-ne-kvadrat-te-s-zd-k.html

PL: https://www.tostpost.com/pl/edukacja/7153-jak-rozwi-zywa-nier-wno-ci-jak-rozwi-zywa-cz-stkowe-i-nier-wno-ci-kwad.html

PT: https://www.tostpost.com/pt/educa-o/7149-como-lidar-com-a-desigualdade-como-lidar-com-frac-es-e-os-desigualdade.html

TR: https://www.tostpost.com/tr/e-itim/7156-zmek-i-in-nas-l-bir-e-itsizlik-var-zmek-gibi-kesirli-ve-kare-e-itsizli.html

UK: https://www.tostpost.com/uk/osv-ta/7154-yak-vir-shuvati-ner-vnost-yak-vir-shuvati-drobov-ta-kvadratn-ner-vnost.html

ZH: https://www.tostpost.com/zh/education/4373-how-to-solve-inequality-how-to-solve-fractional-and-quadratic-inequali.html






Alin Trodden - аўтар артыкула, рэдактар
"Прывітанне, Я Алін Тродден. Я пішу тэксты, чытаю кнігі і шукаю ўражанні. І я нядрэнна ўмею распавядаць вам пра гэта. Я заўсёды рады ўдзельнічаць у цікавых праектах."

Заўвага (0)

Гэтая артыкул не мае каментароў, будзьце першым!

Дадаць каментар

Навіны

Якія прадметы трэба здаваць на юрыста. Парады абітурыентам.

Якія прадметы трэба здаваць на юрыста. Парады абітурыентам.

Прэстыж прафесіі юрыста ў нашай краіне заўсёды быў незвычайна высокі. Чалавек, які ведае законы, які ўмее адстойваць правы і свае, і іншых, якія маюць у гэтым патрэбу людзей, вядома ж, выклікаў і выклікае павагу. Паняцце дэмакраты...

Руска-турэцкая вайна 1768-74 гг.

Руска-турэцкая вайна 1768-74 гг.

Руска-турэцкая вайна 1768-74 гадоў стала пятым па ліку ваенным канфліктам паміж Расіяй і Асманскай імперыяй. Асноўная супярэчнасць заставалася ранейшым – валоданне свабодным выхадам да Чорнага мора. А фармальныя прычыны руск...

Працэс, паняцце і этапы інстытуцыяналізацыі. Інстытуцыяналізацыя ў Расіі. Інстытуцыяналізацыя - гэта...

Працэс, паняцце і этапы інстытуцыяналізацыі. Інстытуцыяналізацыя ў Расіі. Інстытуцыяналізацыя - гэта...

Грамадская жыццё – паняцце шматграннае. Аднак прагрэс Расійскага грамадства, як мы бачым з гісторыі, наўпрост залежыць ад якасці, які праводзіцца ў ім спецыфічнага стваральнай інтэлектуальнага працэсу. Што ж такое інстытуцыя...

Ганна Іаанаўна: гады праўлення, гісторыя і заслугі перад Расіяй

Ганна Іаанаўна: гады праўлення, гісторыя і заслугі перад Расіяй

Для рускага зброі 1709 год быў поўны слаўных перамог. Пад Палтавай Пётр Вялікі разграміў войска шведскага караля Карла Дванаццатага - расейскія войскі паспяхова выбілі іх з тэрыторыі Прыбалтыкі. Каб умацаваць свой уплыў на адваява...

Палеанталогіі: што такое яна вывучае?

Палеанталогіі: што такое яна вывучае?

У дадзеным артыкуле мы пагаворым аб такой навуцы як палеанталогіі - што такое яна вывучае, навошта патрэбна і якая ад яе карысць сучаснаму свету.Старажытныя часыЧасцей за ўсё, пры згадванні першых формаў жыцця на Зямлі, людзям на ...

Камсамолец - гэта... Значэнне слова

Камсамолец - гэта... Значэнне слова "камсамолец"

Значэнне словы «камсамолец» незразумела для сучаснага пакалення. Людзі, якія заспелі савецкія часы, вельмі добра памятаюць, што яно значыць. Камсамолец – гэта юны камуніст, будучы кіраўнік партыйных ячэек. Пры па...